Problemele mele

Scrie un comentariu Mergi la comentarii.

(E46, Revista de Matematica din Timisoara nr. 3/2009) Daca $a, b, c>0$ , demonstrati ca: $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b^{2}+c^{2}+2}}+\frac{b}{\sqrt{c^{2}+a^{2}+2}}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2}}\le \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2\sqrt{abc}}$
(E47, Revista de Matematica din Timisoara nr. 3/2009) Demonstrati ca pentru orice $a,b, c \in \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ astfel incat $abc=1$ are loc inegalitatea $\displaystyle \frac{a^{4}}{b+c-1}+\frac{b^{4}}{c+a-1}+\frac{c^{4}}{a+b-1} \ge3$
(E48, Revista de Matematica din Timisoara nr. 3/2009) Aratati ca raza cercului inscris intr-un triunghi de arie subunitara este mai mica decat $\frac{1}{2}$ .
(E56, Revista de Matematica din Timisoara nr. 4/2009) Fie $a, b, c, k \in \left(0, +\infty \right)$ . Aratati ca $\displaystyle \left(\frac{a}{k}+\frac{k}{a} \right)^{2}+\left(\frac{b}{k}+\frac{k}{b} \right)^{2}+\left(\frac{c}{k}+\frac{k}{c} \right)^{2} \ge4 \left(\frac{a+k}{b+k}+\frac{b+k}{c+k}+\frac{c+k}{a+k} \right)$
(E60, Revista de Matematica din Timisoara nr. 1/2010) Fie $a, b, c \in \mathbb{R}^{*}$ astfel incat $ab+bc+ca =0$ .
a)Verificati ca $\displaystyle \frac{bc\left(a-1\right)}{a}+\frac{ca \left(b-1\right)}{b}+\frac{ab\left(c-1\right)}{c}=a+b+c$
b) Aratati ca $\displaystyle \frac{4}{3}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\ge a^{2}\left(b-1\right)\left(c-1\right)+b^{2}\left(c-1\right)\left(a-1\right)+c^{2}\left(a-1\right)\left(b-1\right)$
(26319, Gazeta Matematica nr. 6/2010) Fie $m, n \in \mathbb{N}^{*}, m \le2n$ si $a, b, c>0$ Aratati ca: $\displaystyle \frac{a^{m}}{b^{n}+c^{n}}+\frac{b^{m}}{c^{n}+a^{n}}+\frac{c^{m}}{a^{n}+b^{n}}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^{m}+b^{m}+c^{m}}{a^{2n-m}+b^{2n-m}+c^{2n-m}}}.$
(E 66., Revista de Matematica din Timisoara, nr. 3/2010) Fie $a,\ b,\ c>0$ . Aratati ca: $\displaystyle 1+\frac{1}{6abc}>\frac{3}{a+b+c}$ .
(E 78, Revista de Matematica din Timisoara, nr. 4/2010) Fie $a,\ b,\ c >0$ . Aratati ca $\displaystyle \frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^{2}}+a+b+c\ge4\sqrt[4]{abc}$
(26372, Gazeta Matematica, nr. 11/2010) Fie punctele $M,\ N,\ P$ pe laturile $AB,\ BC,\ CA$ ale triunghiului $ABC$ astfel incat $AM=BN=CP$ . Notam cu $T$ centrul de greutate al triunghiului $MNP$ . Stiind ca $\displaystyle AB\cdot\overrightarrow{AT}+BC\cdot\overrightarrow{BT}+CA\cdot\overrightarrow{CT}=\overrightarrow{0}$ , sa se arate ca triunghul $ABC$ este echilateral.
(C. O: 5161, Gazeta Matematica, nr. 11/2010) Fie $a,\ b, \ c$ lungimile laturilor unui triunghi si fie $k$ un numar real pozitiv. Sa se demonstreze ca: $\displaystyle \frac{a^{k}}{\left(b+c\right)^{2}}+\frac{b^{k}}{\left(c+a\right)^{2}}+\frac{c^{k}}{\left(a+b\right)^{2}}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a^{k}}{a^{2}+bc}+\frac{b^{k}}{b^{2}+ca}+\frac{c^{k}}{c^{2}+ab}\right)$
( , Revista de Matematica si Informatica din Constanta, nr. 1/2011)Fie punctele $D,\ E,\ F$ pe inaltimile corespunzatoare laturilor $BC,\ CA$ respectiv $AB$ ale unui triunghi $ABC$ . Daca $h_{a},\ h_{b},\ h_{c}$ reprezinta lungimile inaltimilor $\triangle{ABC}$ , stiind ca $AD=a+h_{a},\ BE=b+h_{b},\ CF=c+h_{c}$ si ca triunghiurile $ABC$ si $DEF$ au acelasi centru de greutate, sa se demonstreze ca $\triangle{ABC}$ este echilateral.
(IX. 120, Recreatii Matematice, nr. 1/2011) Fie $P$ un punct in interiorul triunghiului $ABC$ astfel incat $\widehat{PAB}\equiv\widehat{PBC}\equiv\widehat{PCA}$ . Daca $\displaystyle AB\cdot\overrightarrow{AP}+BC\cdot\overrightarrow{BP}+CA\cdot\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$ , aratati ca $\triangle{ABC}$ este echilateral.
(E.86, Revista de Matematica din Timisoara , nr. 2/2011) Determinati functiile $f:\mathbb{Q}\longrightarrow\mathbb{Q}$ care verifica relatia $2f\left(f\left(x\right)+f\left(y\right)\right)=f\left(f\left(x+y\right)\right)+x+y,\forall x,\ y\in\mathbb{Q}$